La Martinique à la carte : topographie, topométrie, géodésie

Quelques notions de topographie, de topométrie, ...

...Lectori Salutem


Le levé topographique est une opération destinée à recueillir sur le terrain des éléments nécessaires à l'établissement d'une carte ou d'un plan, généralement à grande ou très grande échelle. Les observations ou les différentes mesures (éléments planimétriques ou altimétriques) sont obtenues avec d'instruments spécifiques d'arpentage (équerre et niveau d'arpenteur, graphomètre, ... de nos jours plutôt les théodolites laser et connectés. Pour les marins les instruments de navigation, notamment ceux qui permettent de « faire le point » ont évolué passant du « bâton de Jacob » aux astrolabes puis aux sextants et octants, et aujourd'hui au GPS.

Au-delà de la topographie et de l'arpentage, la cosmographie et la géographie ont été développées très tôt dans l'histoire de l'humanité. Ainsi les géomètres et mathématiciens grecs Thalès et Anaximandre projetaient déjà, les points de la sphère terrestre sur un plan ou une surface développable (cône, cylindre, ...), tangents à celle-ci, pour obtenir une représentation cartographique plane. D'où l'appellation de projection.
En géodésie, un système de projection est un système de représentation plane, assurant la correspondance biunivoque entre un point de l'ellipsoïde et ses coordonnées géographiques λ et φ, avec les coordonnées planes rectangulaires X, Y de ce même point dans le repère orthonormé de la projection.

L'ellipsoïde (la Terre en l'occurrence) n'étant pas développable sur un plan, aucun système de projection ne conserve efficacement les longueurs dans toute la zone projetée. Les différents systèmes de projection sont classés en trois grands groupes :

Les systèmes conformes : ils conservent en général les angles [les distances partiellement].

Les systèmes équivalents : ils conservent les superficies mais généralement pas les angles.

Les autres systèmes : ils ne sont ni conformes, ni équivalents.

Les principaux systèmes utilisés de nos jours (en France notamment) sont :

1 - La projection UTM (Universal Transverse Mercator)

2 - Le système Lambert

La projection de Mercator

schéma de la projection Mercator

La projection initiale de Mercator est le développement d'un cylindre tangent à l'ellipsoïde le long de l'équateur. Elle a été diffusée par Mercator (Gérard Kremer) vers 1569. Cette projection est conforme, c'est à dire qu'elle conserve les angles (donc les formes : d'ou le terme conforme) mais elle ne conserve pas les surfaces.

Dans le "langage des géographes" (page 30), le père Dainville propose la définition suivante de la projection de Mercator, ou ce qui est presque équivalent, des « cartes réduites », appelées aussi « cartes à latitudes croissantes » qui en résultent :

On imagine un cylindre circonscrit à la sphère, dont l'axe coïncide avec l'axe de la terre. Il est tangent à la sphère le long de l'équateur. Si l'on projette le canevas sphérique sur le cylindre, les méridiens sont figurés par des droites parallèles à l'axe, les parallèles se transforment en sections circulaires du cylindre. En fendant latéralement le cylindre et en le déroulant sur le plan de la carte, on obtient un canevas orthogonal : l'équateur et les autres parallèles sont des droites horizontales, les méridiens des droites verticales. Ce canevas est correct près de l'équateur où méridiens et parallèles forment effectivement des carrés ; mais, à mesure qu'on s'en écarte, les largeurs s'exagèrent de façon choquante. Cet inconvénient était moins grave au XVIe ou au XVIIe siècle, car les déformations exagérées ne portaient guère que sur les régions avoisinantes des pôles, régions inhabitées et inaccessibles dont on ne se souciait guère. Cette projection permettait au contraire de représenter avec des changements d'échelles pas trop gênants tous les pays où l'homme vivait en société. Elle présentait, par ailleurs, de grands avantages pour la navigation.

Un peu plus loin, page 45, le père de Dainville enchaîne sur les cartes réduites :

Ce sont celles où l'on tâche de corriger les défauts des cartes plates en réduisant les cartes de diverses façons.

a) - les Parallèles sont des droites parallèles les unes aux autres, mais les Méridiens sont représentés par des lignes inclinées s'approchant l'une de l'autre en allant vers les pôles. Cette correction n'est qu'apparemment exacte, puisque les méridiens doivent être parallèles pour qu'une carte marine soit utile.

[ndla : cette première définition peut-être illustrée par la carte de Rigobert Bonne sur les Isles du Vent], les méridiens convergent sensiblement en allant vers le pôle nord. Ce type de représentation peut être satisfaisant pour des cartes géographiques mais pas pour des cartes marines. En l'occurence cette carte de Bonne n'est pas une carte marine.
Le Père Dainville poursuit ensuite son propos, (ndla : il va aborder la description des cartes à latitudes croissantes, si chères à de Fleurieu, celles qui permettent la réduction des routes. C'est-à-dire qui permettent de représenter la route la plus directe entre deux points éloignés (la loxodromie) par une ligne droite, qui coupe les méridiens avec un angle constant. Cela est très utile aux navigateurs qui peuvent ainsi conserver un cap (ou suivre une ligne de rhumb) constant.

b) - méridiens et parallèles sont représentés par des droites parallèles. Les degrés de longitude sont égaux, mais les degrés de latitude sont inégaux, ils sont croissants à mesure qu'ils s'approchent des pôles, dans la même raison que ceux des parallèles décroissent sur le globe, grace à quoi ils conservent entre eux la même proportion que sur le globe. Ce type de carte, est dénommée Carte de Mercator, du nom du géographe qui en a proposé la première construction. cette projection fut modélisée par le mathématicien-géographe Edward Wright, bien plus tard en 1599. Fausse en apparence, cette projection est la meilleure, car elle n'est pas faite pour marquer la distance d'une terre à une autre, mais pour représenter les routes, les latitudes et les longitudes. Elle réduit la mer à un plan dont les parties ont entre elles la proportion qui se trouve entre les parties convexes de l'océan. Elle est à cet égard fort exacte et d'un usage très aisé. On dit que les cartes sont réduites en grand ou en petit point suivant que la division des degrés est en un plus grand nombre ou en un plus petit nombre de parties. Tout le monde convient que les cartes réduites et les échelles de latitude sont d'autant meilleures que l'on prend de suite de plus petits arcs.

(ndla : sur ces cartes, l'échelle des longitudes en général portée en haut et bas de la carte, donc à l'horizontale, ne peut servir d'échelle de distance. Les distances devront être évaluées à l'aide de l'échelle de latitudes [croissantes] placée sur les côtés latéraux de la carte, à la verticale. Encore faudra-t-il parfois procéder par itérations ou fractionnement, notamment lorsque la distance à évaluer se situe entre deux points de latitude très différente. Pour ce faire, à l'aide d'un compas à pointe sèche, il faudra reporter les mesures latérales sur le parcours que l'on aura pris soin de fractionner. La condition étant de calculer la distance entre deux points sur la carte en prenant « à la même latitude » l'écart pris sur l'échelle des latitudes croissantes [ 1' = 1 mille ou nautique = 1 852 m ]. La projection de Mercator est pertinente dans les régions comprises entre l'équateur et les latitudes moyennes. Au-delà d'une certaine latitude plus on se rapproche des cercles polaires [vers 66° nord ou sud] jusqu'au pôles, moins la projection de Mercator est opérationnelle tant elle déforme le canevas de la carte [et donc les distances] de façon exagéré.)



La projection UTM

schéma de la projection UTM

Elle a été étudié initialement par Lambert, et appliquée à l' ellipsoïde par Gauss. Utilisée en Allemagne sous l'appellation de « Projection de Gauss-Kruger ». Elle a été codifiée vers 1950 aux USA dans un but essentiellement militaire et adoptée ensuite par de nombreux pays. La projection initiale de Mercator est le développement d'un cylindre tangent à l'ellipsoïde le long de l'équateur. La projection de Mercator Transverse (UTM) est le développement d'un cylindre tangent à l'ellipsoïde le long d'un méridien. La terre est divisée en 60 fuseaux identiques (d'où le qualificatif « d'Universel ») de 6 degrés de longitude : 3 degrés de part et d'autre du méridien central représenté par une droite perpendiculaire à l'équateur rectiligne.
Dans chaque fuseau la largeur diminue avec la latitude avec des corrections linéaires importantes en bord de fuseau.
En Europe, les coordonnées UTM sont rapportées au Réseau Géodésique Européen Unifié (RGEU) appuyé sur l'ellipsoïde de Hayford, ayant sa surface de contact en Europe Centrale et le méridien international comme origine. Le méridien origine d'un fuseau est pris comme axe Nord du quadrillage, l'équateur comme axe Est, les coordonnées de leur intersection valent E = 500 000 m et N = 0 m pour l'équivalent nord, N = 10 000 000 m pour l'hémisphère sud de manière à supprimer les coordonnées négatives, les altérations linéaires et angulaires sont mises en tables.



Le système Lambert :


schéma du système Lambert

En 1772, le mulhousien JH Lambert publia les bases mathématiques d'une projection conique conforme que l'on peut schématiser par le développement en plan d'un cône de sommet S, cône tangent à l'ellipsoïde le long d'un parallèle d'origine de latitude géodésique. Les méridiens sont des droites concourantes en S, sommet du cône et image du pôle; l'angle γ du méridien de longitude λ est appelé convergence des méridiens. Les parallèles sont représentées par des cercles concentriques de centre S et de rayon R, ces derniers étant calculés de manière que la représentation soit conforme ; la longueur du parallèle origine est conservée dans la projection, c'est le cercle isométrique central. La projection de Lambert conserve les distances sur un segment limité (environ 5 degrés par rapport au parallèle origine). Afin de limiter l'altération des longueurs quand on s'éloigne du parallèle origine, le calcul des longueurs requiert l'utilisation de coefficients appelés coefficients d'altération linéaire.



Sources :
Maîtriser la Topographie (des Observations au plan). Michel Brabant chez Eyrolles.
Le Langage des Géographes François de Dainville, chez Picard, 1964.