La méthode : le canevas géométrique

On définit d’abord la position des premiers points relativement éloignés les uns des autres, ce qui fixe la dimension de l’ensemble du réseau de triangulation. On descend ensuite progressivement de l’ensemble au détail (levé des détails) à l’aide d’un second réseau de triangles moins étendus.

Les points principaux, appelés « points trigonométriques » et les droites qui les joignent constituent le « canevas géométrique ». Cette méthode s’applique aussi bien aux opérations planimétriques qu’aux mesures altimétriques.

Il existe plusieurs procédés de levés planimétriques. Ceux qui mesurent davantage les angles que les longueurs : la triangulation, l’intersection, le relèvement, le recoupement… et ceux qui mesurent à part presque égales les longueurs et les angles : le cheminement (ou la polygonisation), le rayonnement…

La triangulation proprement dite :

La triangulation est constituée par un réseau de triangles contigus. Voir cet extrait de la carte des triangles de Monnier qui présente les trois séries de triangles mesurées en 1824 et 1825 par le géodésien & hydrographe pour réaliser la seconde triangulation de la Martinique.

Les points choisis pour constituer le canevas principal appelés points trigonométriques sont toujours des sommets de triangles. On commence par la mesure physique sur le terrain du côté du premier triangle. En 1763 cette base, est chez l’ingénieur Claude Loupia, constituée par un canal rectiligne qui va de l’habitation Bosson à l’habitation Patrice.

Lors de la seconde triangulation effectuée par Paul Monnier, ces habitations ont changé de nom. Dans son « mémoire sur les opérations hydrographiques et géodésiques » (page 6), Monnier identifie la base de Claude Loupia comme partant de l'habitation Deculleville à l'habitation Destournelles.

On mesure également au moins les deux angles du premier triangle. En partant du côté mesuré, appelé base, on obtient par le calcul la longueur des deux autres côtés du premier triangle. Puis en utilisant dans le triangle adjacent la longueur ainsi calculée du côté commun, on obtient par une nouvelle résolution de triangle, la longueur des deux autres côtés du second triangle, et ainsi de proche en proche.

Si dans chaque triangle on mesure les trois angles on a un premier contrôle des observations. La somme des angles d’un triangle étant égale à 180° ou 200 grades. Ce contrôle permettait d'évaluer rapidement les erreurs de mesures. En effet, les instruments de mesure de l'époque, tels que les graphomètres à lunettes, théodolites, ... n’étaient pas d’une extrême précision, sans compter avec l’erreur humaine de visée. En cas d'erreur il fallait répéter la visée. En cas de plusieurs visées non identiques, l'opérateur pouvait décider de prendre la moyenne ou la médiane des observations.

Le géodésien C. Loupia rappelle qu’il a utilisé, en 1763 un graphomètre à lunette d’un quart de cercle, d’un pied de rayon, avec une division de nonius de minute en minute.

Pour sa part Paul Monnier donne également des précisions [page 8 du "mémoire sur les opérations ..."] du matériel dont il s'était doté :

1 - un cercle répétiteur de Borda, à niveau mobile construit par le célèbre Lenoir,
2 - une montre marine de Louis Berthoud,
3 - une lunette astronomique de Cauchoix,
4 - deux thermomètres,
5 - quatre cercles à réflexion pour les reconnaissance hydrographiques,
6 - trois théodolites pour mesurer les angles secondaires,
7 - une boussole de déclinaison,
8 - et enfin deux régles deux deux mètres étalonnées au mètre étalon par le comparateur mis au point par Lenoir.

Dans la pratique la mesure de deux angles suffit, l’ampleur du troisième angle pouvant être déduit des deux autres. On peut également se servir du théorème d'Al-Kashi (ou de Pythagore généralisé) bien connu des lycéens de 1ère. Ce théorème permet de résoudre la problématique inhérente à toute triangulation. La « formule des sinus » qui en découle permet de calculer la longueur des côtés d'un triangle en connaissant la longueur d'un côté mesuré, celui que les géodésiens appelent la base et des mesures des autres angles du triangle considéré.

Mais peut être qu’un bon dessin pour présenter "la formule des sinus" vaut mieux que tous les discours

dessin perso

la géodésie : une histoire de calculs

À l’extrémité du réseau de triangles on mesure physiquement l’un des derniers côtés calculés. On obtient ainsi une vérification très efficace en comparant la longueur mesurée sur le terrain et la longueur calculée par la méthode employée.

Ce principe simple dérivé de la géométrie euclidienne, parfaitement adapté au plan, trouve rapidement ses limites pour tous calculs effectués sur une sphère, un géoïde, un ellipsoïde. Si la somme des angles d'un triangle totalise 180 degrés dans le plan, elle ne les atteint pas sur une surface courbe. Des corrections géodésiques, à l'aide des principes la trigonométrie sphérique, sont nécessaires pour pouvoir « fermer » correctement un triangle.
Par ailleurs, le géodésien prend souvent ses mesures à partir de stations situées en altitude. D'une station à l'autre ces altitudes varient. Des calculs correctifs complémentaires sont nécessaires pour aligner les observations à la même altitude ou bien les ramener au niveau de la mer.

En général on oriente le réseau de triangles en déterminant par une observation astronomique l’azimut d’un des côtés d’un triangle ce qui permet de déterminer, de proche en proche, les azimuts de tous les côtés. S’il y a lieu, on peut déterminer l’azimut de chacun des côtés.

Dans les grandes triangulations, et c’était le cas pour celles effectuées par les ingénieurs militaires qui ont œuvré en Martinique en 1824 comme en 1763, on effectue les observations astronomiques nécessaires pour obtenir la longitude et la latitude de l’un des points trigonométriques. En 1824 Monnier place ainsi son point trigonométrique principal, croisement entre la " méridienne " et la " perpendiculaire ", au Mât du pavillon du Fort Saint-Louis. Au moyen des longueurs et des azimuts, des gisements des côtés des triangles on détermine de proche en proche les coordonnées astronomiques des autres points trigonométriques.

Les points trigonométriques sont reconnus physiquement sur le terrain. On fixe leurs emplacements que l’on marque par un signal artificiel à moins qu’il ne s’agisse d’un signal naturel, tel que clocher, arbre etc… Ces points trigonométriques sont choisis en des lieux d’où l’on présume avoir de bonnes conditions de visibilité sur les autres points que l’on aura à viser des stations. On note la situation choisie pour chaque signal, ce que n’ont pas manqué de faire les ingénieurs, en 1824 comme en 1763.

En résumé :



Selon l’étendue de terrain sur laquelle portent les levés du canevas géométrique, on a, eu égard à la courbure de la terre, différents termes qui s’appliquent.

La géodésie s’occupe de la représentation de l’ensemble ou d’une partie notable de la surface terrestre (on fait donc attention à la courbure du géode). La géodésie fournit des données numériques que l’on utilise pour résoudre des problèmes relatifs à la forme, la dimension et la constitution du globe terrestre. Elle permet de dresser le canevas géométrique.

La topographie concerne des étendues moins larges. Le topographe doit toutefois prendre en compte la sphéricité terrestre, notamment dans la représentation des méridiens (convergence des méridiens), dans l’orientation des plans, ou encore dans la détermination des hauteurs. Contrairement au calculs géodésiques, la topographie se traduit toujours par ses résultats définitifs sous la forme graphique constitués de plans et de cartes.

Lorsque les procédés de levés comportent pour situer des détails du terrain, l’exécution systématique de mesures régulières, on les qualifie de procédés topométriques.

Les grandes triangulations relèvent en général du domaine de la géodésie. Celles de premier ordre ont des points trigonométriques éloignés de plusieurs dizaines de kilomètres. Celles du 2nd ordre d’une quinzaine de kilomètres et celles du 3ième ordre de 5 à 10 kilomètres. Les petites triangulations complémentaires comportent des triangles dont les côtés se réduisent jusqu’à 1 500 ou 1000 mètres voir 500 mètres.

En général, au moins dans les triangulations de 1er ordre, il est conseillé de travailler avec des triangles équilatéraux ou proches : on dit alors que les triangles sont bien conformés. La précision du réseau est ainsi maximum. Il faut surtout éviter les triangles à angles trop aigus (inférieurs à 30 grades soit environ 27 degrés).