La Martinique à la carte : les latitudes croissantes ou la projection de Mercator

La projection de Mercator : les Latitudes Croissantes et les Cartes Réduites

retour sur les généralités concernant les projections

Les cartes à latitudes croissantes ont été réalisées pour les besoins de la navigation hauturière afin de pallier le défaut des cartes plates qui ne sont pas suffisamment fiables quand elles représentent de grandes étendues et/ou quand elles sont situées sur des latitudes hautes ou basses [pour certains auteurs, l'usage des cartes plates est même dangeureux quand la latitude est supérieure à 7° Nord ou Sud). Les cartes plates sont généralement suffisantes lorsque leur étendue ne dépasse pas 1° en latitude et/ou en longitude (c'est à dire à l'époque une vingtaine de «lieues marines» soit 20 lieues au degré).

Dans son traité de navigation le mathématicien M. Bezout rappelle que : La navigation hauturière est celle qui se fait en pleine mer et hors de la vue des côtes. Elle est ainsi nommée parce qu'on y fait souvent usage de la hauteur des astres.

Les grandes découvertes et la croissance du commerce maritime ont finalement fortement bénéficié de la mise au point de la projection de Mercator. La projection tombait à point, pour faire le point .... et tracer la route.

Mercator (Gerhard Kremer né en 1512) a donc imaginé à la fin du XVIe siècle une projection particulière - on la date de 1569, c'est à dire l'année à laquelle il a publié sa célèbre carte du monde - permettant aux navigateurs de représenter une même direction (cap ou air de vent ou rhumb, constant) par une ligne droite coupant les méridiens selon le même angle, alors que sur le globe la trajectoire décrit en réalité une courbe. Pour cela, il a représenté les méridiens par des verticales et les parallèles par des horizontales dont l’espacement est proportionnel à l’inverse du cosinus de la Latitude (1 / cos L).

Grâce à cette projection, la réduction des routes suivies par les navires est devenue aisée. C'est pourquoi on appelle communément les cartes à latitudes croissantes des cartes réduites.

La projection de Mercator se réalise de la sphère (terre, ellipsoïde, ...) sur un cylindre vertical tangent à l'équateur et ayant le même axe Nord-Sud. Le cylindre a donc le même diamètre ou le même rayon que celui de la Terre à l'équateur (qui est un grand cercle). La longueur du cylindre est par contre infinie d'un côté comme de l'autre [de l'équateur]. La projection est dite directe, quand le cylindre est vertical, c'est à dire tangent à l'équateur. Lorsque le cylindre est horizontal - tangent à un méridien - la projection est dite transverse.

Croquis : détermination des Latitudes Croissantes La projection de Mercator est une projection dite conforme. Comme son nom l'indique elle conserve les formes donc les angles (ou inversement). Mais Aucune projection connue ne conserve à la fois les formes et les surfaces. Celles qui conservent les surfaces sont nommées équivalentes (par exemple la projection d'Archimède). Celle de Mercator, conservant les angles ne conserve donc pas les surfaces (donc les distances).


M. Bezout rappelle dans son Traité de la Navigation que : «Le but de la construction est uniquement de rendre les méridiens paralèlles sans changer le rapport entre les parties du méridien et celles des paralèlles. Pour y parvenir, au lieu de diminuer l'étendue des degrés des parallèles à mesure que la latitude augmente, on leur donne constamment la même grandeur [ndla : en général tâche de les faire constamment égaux à un degré pris à l'équateur].

L'arc (c'est à dire la longueur [distance] qui correspond sur la sphère Ap Bp pris sur un parallèle quelconque est égal à l'arc Ae Be pris à l'équateur multiplié par le cosinus de la latitude à laquelle se trouve le parallèle. On a donc Ap Bp = cos L Ae Be et Ap Bp x 1 / cos L = Ae Be.

Comme le dit Bezout, le rapport entre les parties du méridien et celles des paralèlles ne doit pas changer, d'où il faut multiplier également Ap C par 1 / cos L. Ce que traduit la relation dy = dL / cos L (dy étant la projection de dL).

En général, dans les explications et les démonstrations, on prend un arc Ae Be correspondant à dG (différence de longitude) une minute (1') à l'équateur, ou un mille. Sur le schéma ci-contre, soit ae, be, ap, bp et c les projections sur le cylindre de Ae , Be, Ap, Bp, C points de la sphère (ellipsoïde), L la latitude et G la longitude.

La projection étant conforme, le triangle Ap Bp C inscrit sur la sphère (ellipsoïde) est semblable (et inversement) au triangle ap bp c projeté sur le cylindre (ici le cylindre à droite étant déroulé). On a donc :

Ap C / ap c = Ap Bp / ap bp

et ap c = dy et ap bp = dx

il en résulte l'équation déjà mentionnée plus haut : dy = dL / cos L

En pratique, il faut imaginer un triangle sphérique Ap Bp C très petit résultant d'un écart de latitudes vraies dL valant un certain nombre de minutes (ça dépend de la table que l'on veut construire de 10' en 10' ou 1' en 1'). La somme des multiples dy des petits triangles qui se superposent en partant de l'équateur jusqu'à la latitude L donnera la longueur du méridien rectiligne Y à la latitude L.

On peut résumer cela en posant : Y = (1/cos(1') + 1/cos(2') + 1/cos(3') + .....+ 1/cos(L')) pour chaque degré en partant de l'équateur (0°) jusqu'à la latitude L.

En intégrant la relation précédente [dy = dL / cos L] on obtient Y = Ln Tan (Pi/4 + L/2) les angles sont ici exprimés en radians

Sachant que 180° correspondent à 180 x 60' = 10 800' égales elles-mêmes à Pi radians, on applique la formule précédente à la constante [10 800 / Pi = 3437,74677].

On obtient enfin : Y = (10 800 / Pi) * Ln Tan (Pi/4 + L/2), c'est cette valeur que l'on retrouve calculée dans la Table des Latitudes Croissantes de M. Bezout [voir ci-dessous].

Bezout 1793, Table de latitudes croissantes du Traité de Navigation Les calculs issus de ces formulations ont donné la table de Latitudes Croissantes à portée universelle.
Ci-contre : table de Latitudes Croissantes parue dans Traité de laNavigation de M. Bezout. imprimerie Ph .-D. PIERRES, rue St Jacques, 1793.

note de lecture : notation D = degré, Lon = longueur (calculé du méridien, ie : latitudes croissantes).

La première colonne, celles des minutes «'», donne les fractions de degré, de 10 minutes en 10 minutes (0' ; 10' ; 20' ; 30' ; 40' ; 50'), les colonnes intitules «D» donnent les degrés entiers.


La Table des Latitudes Croissantes a été l'objet de constants perfectionnements. Des versions ultérieures à celle présentée dans cette page viendront afiner les mesures : elles passeront de calculs de 10' en 10', à une mesure pour chaque minute d'angle. La prise en compte de l'aplatissement de la Terre (rapport d'aplatissement ou rapport des axes de l'ellipsoïde soit : 321/320 permettra également des mesures de latitudes croissantes plus précises.

Application pratique à la carte des Antilles de Verdun de la Crenne, parue en 1775 au Dépôt de la Marine



n°75 bis - Carte de Verdun de la Crenne, Pingré, Borda

La première carte de la feuille, présente les Petites Antilles entre le 13° et le 19° de latitude Nord, la latitude moyenne est de 16°30' et la longitude moyenne de 65°8'. La hauteur de la partie de la carte [entre les bords de l'intérieur du cadre] est approximativement de 53 cm soit 530 mm (elle doit être légèrement différente de son état initial, à peu de chose près, compte tenu de son âge, du «travail» du papier, ...). La largeur [toujours entre les bords de l'intérieur du cadre] est de 54 cm soit 540 mm.

Les latitudes croissantes prises dans la table de Bezout de 1793 (qui n'est pas corrigée de l'aplatissement de la Terre, qui ne donne des LC que de 10' en 10') sont : pour LC(13°) = 787' et LC(19°) = 1161', soit une différence de 374'. La grandeur moyenne de la minute sur la carte vaut donc environ 530 / 374 = 1,42 mm, la grandeur moyenne du degré équivaut donc à = 85 mm ou 8,5 cm. Comme on le sait la longueur en mm des degrés représentés sur la carte réduite n'est pas égale, elle est plus petite vers 13° et plus grande vers 19°. L'hydrographe a construit son canevas autour d'une échelle où le degré de longitude équivaut à environ 8,65. Compte tenu de la largeur dont il disposait, il a pu représenter un écart de longitude de 6°15' entre le 62° et le 68°15 de longitude Ouest (Obs Royal de Paris).

Comme on le sait, la projection de Mercator ne conserve par les distances. Les calculs de longueur de route, de différence entre un point A et B situés sur la carte, doivent se faire en prenant l'échelle des degrés autour de la latitude moyenne.